Question

如圖，在底面為菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，G為DF的中點；
（1）求證：EF⊥平面B₁BDD₁；
（2）求證：EG∥平面AA₁D₁D．

Answer 1

證明：（1）在△A₁B₁C₁中，因為E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，所以EF∥A₁C₁，
因為底面A₁B₁C₁D₁為菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，所以EF⊥B₁D₁，（3分）
因為直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又因為EF?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥EF；
又B₁D₁∩DD₁=D₁，所以EF⊥平面B₁BDD₁．（7分）
（2）延長FE交D₁A₁的延長線于點H，連接DH，
因為E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，
所以△EFB₁≌△EHA₁，所以HE=EF，
在△FDH中，
因為G、F分別為DF、HF的中點，
所以GE∥DH，（10分）
又GE?平面A₁D₁DA，DH?平面A₁D₁DA，
故EG∥平面AA₁D₁D．（14分）
分析：（1）要證EF⊥平面B₁BDD₁，只需證明直線EF垂直平面B₁BDD₁內的兩條相交直線B₁D₁、DD₁即可．
（2）延長FE交D₁A₁的延長線于點H，連接DH，要證EG∥平面AA₁D₁D，只需證明直線EG平行平面AA₁D₁D內的直線DH即可．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．