Question

（本小題滿分10分）

如圖，在三棱錐中，底面， 點，分別在棱上，且 

    

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦值；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）與平面所成的角的正弦值為。

【解析】本試題主要是考查了線面垂直的判定定理的運用，以及線面角的求解的綜合運用。

（1）根據已知條件，PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D為PB的中點，DE//BC，

∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，然后借助于三角形得到求解。

解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP為等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴與平面所成的角的正弦值為

解法2如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，

設，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，     

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵，

∴.

∴與平面所成的角的正弦值為