Question

對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f（x）稱為不等函數．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函數g（x）=x³與h（x）=2^x-a是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為不等函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是不等函數，求實數a組成的集合．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據不等函數的定義和條件進行判斷即可；
（2）根據h（x）是不等函數，驗證兩個條件即可．

解答： 解：（1）當x∈[0，1]時，總有g（x）=x³≥0，滿足①；
當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）³=

x

3 1

+

x

3 2

+3

x

2 1

•x₂+3x₁•

x

2 2

≥

x

3 1

+

x

3 2

=g（x₁）+g（x₂），滿足②，
所以函數g（x）是不等函數．
（2）h（x）=2^x-a（x∈[0，1]）為增函數，h（x）≥h（0）=1-a≥0，所以a≤1．
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），得2x1+x2-a≥2x1-a+2x2-a，
即a≥2x1+2x2-2x1+x2=1-（2x1-1）（2x2-1）．
因為x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
所以0≤2x1-1≤1，0≤2x2-1≤1，x₁與x₂不同時等于1，
所以0≤（2x1-1）（2x2-1）＜1，所以0＜1-（2x1-1）（2x2-1）≤1．
當x₁=x₂=0時，[1-（2x1-1）（2x2-1）]_max=1，
所以a≥1．
綜合上述，a∈{1}．

點評：本題主要考查函數的應用，根據不等函數的定義，進行推理是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力．