【題目】已知函數
在其定義域內有兩個不同的極值點.
（1）求
的取值范圍.
（2）設
的兩個極值點為
，證明
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】試題分析：（1）極值點轉化為導函數零點，即
在
有兩個不同根.變量分離為
，利用導數可得函數
在
上單調減，在
上單調增，根據趨勢可得函數
在
上范圍為
，在
上范圍為
，因此要有兩解，需
，（2）利用導數證明不等式關鍵是構造恰當的函數： 
等價于
，而由零點可得
.代入化簡得
，令
，則
，因此構造函數
，利用導數求其最小值為
，由于
，所以命題得證.
試題解析：（1）依題意，函數
的定義域為
，所以方程
在
有兩個不同根.即方程
在
有兩個不同根.
轉化為，函數
與函數
的圖象在
上有兩個不同交點
又
，即
時， 
， 
時， 
，
所以
在
上單調增，在
上單調減，從而
.
又
有且只有一個零點是1，且在
時， 
，在
時， 
，
所以由
的圖象，要想函數
與函數
的圖象在
上有兩個不同交點，只需
，即
（2）由（1）可知
分別是方程
的兩個根，即
， 
，
設
，作差得， 
，即
.
原不等式
等價于
令
，則
， 
，
設
， 
， 
，
∴函數
在
上單調遞增，∴
，
即不等式
成立，故所證不等式
成立.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處． 
（1）求船的航行速度是每小時多少千米？
（2）又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某保險公司針對企業職工推出一款意外險產品，每年每人只要交少量保費，發生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為
、
、
三類工種，根據歷史數據統計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）.
（Ⅰ）根據規定，該產品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限；
（Ⅱ）某企業共有職工20000人，從事三類工種的人數分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著互聯網的發展，移動支付（又稱手機支付）越來越普通，某學校興趣小組為了了解移動支付在大眾中的熟知度，對15-65歲的人群隨機抽樣調查，調查的問題是“你會使用移動支付嗎？”其中，回答“會”的共有
個人.把這個人按照年齡分成5組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中，第一組的頻數為20.
（1）求 和
的值，并根據頻率分布直方圖估計這組數據的眾數；
（2）從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第1，3，4組抽取的人數；
（3）在（2）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數f（x）=sin（2x+ 
），下列命題： ①函數圖象關于直線x=﹣ 
對稱；
②函數圖象關于點（ 
，0）對稱；
③函數圖象可看作是把y=sin2x的圖象向左平移個 單位而得到；
④函數圖象可看作是把y=sin（x+ ）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的 
倍（縱坐標不變）而得到；其中正確的命題是 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，曲線
的極坐標方程是
，以極點為原點
，極軸為
軸正半軸（兩坐標系取相同的單位長度）的直角坐標系
中，曲線
的參數方程為：
（
為參數）．
（1）求曲線
的直角坐標方程與曲線
的普通方程；
（2）若用
代換曲線的普通方程中的
得到曲線
的方程，若
分別是曲線
和曲線
上的動點，求
的最小值．
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