Question

（2010•撫州模擬）△ABC的三個頂點A，B，C均在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，橢圓右焦點F為△ABC的重心，則|AF|+|BF|+|CF|的值為

9

2

．

Answer 1

分析：本填空題采用取特殊位置的方法求解，設點A是橢圓短軸的上端點，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）進而根據橢圓方程求得b和c，進而可求得A，F₁的坐標，根據三角形的重心的性質可分別求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C點代入橢圓方程后兩式相減，進而求得直線BC的斜率，設出直線BC的方程，把B，C點坐標代入兩式相加求得b，則直線BC方程可得，從而得出B，C的坐標，最后利用兩點間的距離公式即可求得．

解答：解：設點A是橢圓短軸的上端點，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
橢圓方程得

x2

4

+

y2

3

=1
∴b=

3

a=2
∴c=1，則A（0，

3

） F（1，0）
∴

0+x1+x2

3

=1，x₁+x₂=3
同理y₁+y₂=-

3

又3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）×k=0
∴k=

3 3

4

，k為BC斜率
令BC直線為：y=

3 3

4

x+m
則：y₁+y₂=

3 3

4

（x₁+x₂）+2m
b=-

13 3

8

∴BC直線為：y=

3 3

4

x-

13 3

8

代入橢圓的方程求得B（2，-

1

5

），C（1，-

3

2

）．
利用兩點是的距離公式得：則|AF|+|BF|+|CF|=

9

2

．
故答案為：

9

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．