Question

【題目】已知點F1、F2為雙曲線（b＞0）的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，且∠MF1F2=30°，圓O的方程是x2+y2=b2．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求的值；

（3）過圓O上任意一點Q作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點，AB中點為M，求證：|AB|=2|OM|．

Answer 1

【答案】（1）；（2）-；（3）見解析

【解析】

（1）解：設F2，M的坐標分別為,再通過雙曲線的定義和解三角形得到雙曲線C的方程為；（2）設雙曲線C上的點P（x0，y0），設兩漸近線的夾角為θ，再求出和的值，即得的值；（3）由題意，即證：OA⊥OB，分y0≠0和y0=0兩種情況證明，原題即得證.

（1）解：設F2，M的坐標分別為

因為點M在雙曲線C上，所以，即，所以

在Rt△MF2F1中，，，所以

由雙曲線的定義可知：

故雙曲線C的方程為：

（2）解：由條件可知：兩條漸近線分別為

設雙曲線C上的點P（x0，y0），設兩漸近線的夾角為θ，則

則點P到兩條漸近線的距離分別為

因為P（x0，y0）在雙曲線C：上，所以，又，

所以=cos（π-θ）=-=-

（3）證明：由題意，即證：OA⊥OB．

設A（x1，y1），B（x2，y2），切線l的方程為：x0x+y0y=2

①當y0≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：

所以：，

又

所以

②當y0=0時，易知上述結論也成立．所以

綜上，OA⊥OB，所以．