Question

A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂．根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

X1	5%	10%		X2	2%	8%	12%
P	0.8	0.2		P	0.2	0.5	0.3

（Ⅰ）在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY₁，DY₂；
（Ⅱ）將x（0≤x≤100）萬元投資A項目，100-x萬元投資B項目，f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x為何值時，f（x）取到最小值．（注：D（aX+b）=a²DX）

Answer 1

分析：（1）Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，根據兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂的分布列，可以得到Y₁和Y₂的分布列，得到分布列，余下的問題只是運算問題，分別求出變量的方差．
（2）由題意知f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和，寫出用x表示的方差的解析式，結合二次函數的最值問題，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）∵Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
根據兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂的分布列
可以得到Y₁和Y₂的分布列分別為

Y1	5	10		Y2	2	8	12
P	0.8	0.2		P	0.2	0.5	0.3

EY₁=5×0.8+10×0.2=6，
DY₁=（5-6）²×0.8+（10-6）²×0.2=4，
EY₂=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY₂=（2-8）²×0.2+（8-8）²×0.5+（12-8）²×0.3=12．

（Ⅱ）f(x)=D(

x

100

Y1)+D(

100-x

100

Y2)
=(

x

100

)2DY1+(

100-x

100

)2DY2
=

4

1002

[x2+3(100-x)2]
=

4

1002

(4x2-600x+3×1002)，
當x=

600

2×4

=75時，
f（x）=3為最小值．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．