Question

已知點(diǎn)M（2，1），N（-2，1），直線MP，NP相交于點(diǎn)P，且直線MP的斜率減直線NP的斜率的差為1．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（Ⅰ） 求E的方程；
（Ⅱ） 已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C是曲線E上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若以A為圓心，線段AC為半徑的圓交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，試判斷直線BC與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，依題意得列關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，化簡后得答案；
（Ⅱ） 證法一、設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，把c的坐標(biāo)代入E的軌跡方程，再求出圓A的方程，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線BC的方程，和拋物線方程聯(lián)立后由判別式等于0可證直線BC與曲線E相切．
證法二：設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，把c的坐標(biāo)代入E的軌跡方程，再求出圓A的方程，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得直線BC的斜率，然后利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在過C點(diǎn)的切線的斜率，可得直線BC與曲線x²=4y過點(diǎn)C的切線重合，即說明直線BC與曲線E相切．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），依題意得

y-1

x-2

-

y-1

x+2

=1，
化簡得x²=4y（x≠±2），
∴曲線E的方程為x²=4y（x≠±2）；
（Ⅱ） 結(jié)論：直線BC與曲線E相切．
證法一：設(shè)C（x₀，y₀），則

x

2 0

=4y0，圓A的方程為x2+(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2，
令x=0，則(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2=(y0+1)2，
∵y₀＞0，y＜0，∴y=-y₀，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-y₀），
直線BC的斜率為k=

2y0

x0

，直線BC的方程為y+y0=

2y0

x0

x，即y=

2y0

x0

x-y0，
代入x²=4y得，x2=4(

2y0

x0

x-y0)，即x0x2-8y0x+4x0y0=0，△=64

y

2 0

-4x0•4x0y0=16y0(4y0-

x

2 0

)=0，
∴直線BC與曲線E相切．
證法二：設(shè)C（x₀，y₀），則

x

2 0

=4y0，圓A的方程為x2+(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2，
令x=0，則(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2=(y0+1)2，
∵y₀＞0，y＜0，∴y=-y₀，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-y₀），
直線BC的斜率為k=

2y0

x0

，
由x²=4y得，y=

1

4

x2得，y′=

1

2

x，過點(diǎn)C的切線的斜率為k1=

1

2

x0，
而k=

2y0

x0

=

2× 1 4 x 2 0

x0

=

1

2

x0，
∴k=k₁，
∴直線BC與曲線x²=4y過點(diǎn)C的切線重合，
即直線BC與曲線E相切．

點(diǎn)評：本題考查了曲線方程的求法，考查了圓與圓錐曲線的綜合，考查了直線與圓的位置關(guān)系，對于（Ⅱ）的第二種證明方法，運(yùn)用了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解題中的廣泛應(yīng)用，該題屬中高檔題．