Question

設命題p：存在x∈R，使得a≥2sinx+1；命題q：任意x∈（0，+∞），不等式a≤

1

x

+x恒成立，
（1）寫出“非p”命題，并判斷“非p”是q成立的什么條件（充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件）；
（2）若“p或q”為真“p且q”為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）求出命題￢p時a的取值范圍與命題q為真時a的取值范圍，即可判斷￢p是q成立的什么條件；
（2）“p或q”為真、“p且q”為假時，得p真q假，或p假q真，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵命題p：存在x∈R，使得a≥2sinx+1，
∴命題￢p：?x∈R，都有a＜2sinx+1；
∴a＜（2sinx+1）_min=-2+1，即a＜-1；
又∵命題q：任意x∈（0，+∞），不等式a≤

1

x

+x恒成立，
∴a≤(

1

x

+x)min=2，即a≤2；
∴￢p是q成立的充分不必要條件；
（2）當“p或q”為真、“p且q”為假時，
得p真q假，或p假q真兩種情況；
∴p真q假時，

a≥-1 a＞2

，解得a＞2；
p假q真時，

a＜-1 a≤2

，解得a＜-1；
∴實數a的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了復合命題真假的判斷問題，也考查了命題的否定以及充分與必要條件的判斷問題，是綜合性題目．