Question

設函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的圖象過點（

π

8

，-1）．
（1）求φ；  
（2）求函數y=f（x）的周期和單調增區間；
（3）在給定的坐標系上畫出函數y=f（x）在區間，[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得φ=2kπ+

5π

4

，結合φ的范圍可得k=-1，φ=-

3π

4

．
（2）利用求周期的公式可得周期；利用整體思想結合正弦函數的性質可得2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，進而得到函數的增區間．
（3）求出x與y的取值結合五點作圖法，即可畫出函數的圖象．

解答：解：（1）∵f（x）的圖象過點（

π

8

，-1）．
∴sin（2×

π

8

+φ）=-1，
∴

π

4

+φ=2kπ+

3π

2

，(k∈Z)，
所以φ=2kπ+

5π

4

，
因為-π＜φ＜0，所以k=-1，φ=-

3π

4

．
（2）T=

2π

2

=π，
由（1）知φ=-

3π

4

，所以f（x）=sin（2x-

3π

4

），
由題意得 2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
所以函數f（x）=sin（2x-

3π

4

）的單調增區間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（3）

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
f（x）=sin（2x- 3π 4 ）	- 2 2	-1	0	1	0	- 2 2

故函數y=f（x）在區間[0，π]上的圖象是：

點評：考查學生已知三角值結合范圍求角，以及周期求法和周期函數的單調區間求法與熟練利用五點作圖法作三角函數圖象．