Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，過點的直線交拋物線于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為3時，為正三角形.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線，且和拋物線有且只有一個公共點，試問直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：第一問根據題意先寫出拋物線的焦點坐標，設出點的坐標，利用中點坐標公式求得的中點坐標，利用條件，結合拋物線的定義，可得，從而求得的值，進而得到拋物線的方程；第二問根據題意，結合兩直線平行的條件，得到其對應的式子，根據直線過定點的條件得到結果.

詳解：（1）由題意知，

設，則的中點為，

因為，由拋物線的定義知：，

解得或（舍去），

由，解得，

所以拋物線的方程為.

（2）由（1）知，設，，

因為，則，

由得，故，

故直線的斜率為，

因為直線和直線平行，

故可設直線的方程為，

代入拋物線方程得，

由題意知，得.

設，則，，

當時，，

可得直線的方程為，

由，整理可得，

所以直線恒過點，

當時，直線的方程為，過點，

所以直線恒過定點.