Question

設無窮等比數列的公比為q，且，表示不超過實數的最大整數（如）,記，數列的前項和為，數列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；
（Ⅲ）若對于任意不超過的正整數n，都有，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，又，根據取整函數的性質，得，，.進而求；（Ⅱ）充分性的證明：因為，且，故，從而；必要性的證明，因為，故，又，，則有；（Ⅲ）已知數列的前項和（），可求得，由取整函數得，，故，要證明，只需證明，故可聯想到，則；
試題解析：（Ⅰ）解：因為等比數列的，，所以，，.
所以，，.則.
（Ⅱ）證明：（充分性）因為，所以對一切正整數n都成立.
因為，，所以.
（必要性）因為對于任意的，，
當時，由，得；當時，由，，得.
所以對一切正整數n都有.因為，，所以對一切正整數n都有.
（Ⅲ）證明：因為，所以，
.
因為，所以，.由，得.
因為，所以，
所以，即.
考點：1、等比數列的通項公式；2、數列前n項和；3、充要條件.