Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁，F分別是棱AD，AA₁，AB的中點．
（1）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（2）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可以通過證明面面平行來證明線面平行；
（2）通過建立空間直角坐標系，先求出兩個平面的法向量，則兩個平面的法向量的夾角即為兩平面的二面角或其補角．

解答：解：（1）∵F為AB的中點，CD=2，AB=4，AB∥CD，∴CD∥AF，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，∴AD∥FC．
又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC₁，
∴平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，
又EE₁?平面ADD₁A₁，∴EE₁∥平面FCC₁．
（2）過D作DR⊥CD交于AB于R，以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系．
則F（

3

，1，0），B（

3

，3，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），
∴

FB

=（0，2，0），

BC1

=（-

3

，-1，2），

DB

=（

3

，3，0）．
由FB=CB=CD=DF，∴四邊形BCEF是菱形，∴DB⊥FC．
又CC₁⊥平面ABCD，
∴

DB

為平面FCC₁的一個法向量．
設平面BFC₁的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • FB =0 n • BC1 =0

得

2y=0 - 3 x-y+2z=0

，可得y=0，令x=2，則z=

3

，∴

n

=(2，0，

3

)．
∴cos＜

n

，

DB

＞=

n • DB

| n | | DB |

=

2 3

22+( 3 )2 ( 3 )2+32

=

7

7

．
故所求二面角的余弦值為

7

7

．

點評：熟練掌握利用面面平行來證明線面平行、利用兩個平面的法向量的夾角求兩平面的二面角是解題的關鍵..