Question

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分別是棱AD，AA₁的中點，F(xiàn)為AB的中點．證明：
（1）EE₁∥平面FCC₁．
（2）平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）法一：由EE₁∥A₁D?EE₁∥F₁C?EE₁∥平面FCC₁．即用利用線線平行來推線面平行．
法二：由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁?EE₁∥平面FCC₁．即用利用面面平行來推線面平行．
（2）先證AC⊥BC，又由AC⊥CC₁?AC⊥平面BB₁C₁C?平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．即利用線線垂直來推線面垂直再推2面面垂直．

解答：證明：（1）證法一：取A₁B₁的中點為F₁，
連接FF₁，C₁F₁，
由于FF₁∥BB₁∥CC₁，
所以F₁∈平面FCC₁，
因為　平面FCC₁即為平面C₁CFF₁，
連接A₁D，F(xiàn)₁C，
由于A₁F₁和D₁C₁和CD平行且相等．
所以　四邊形A₁DCF₁為平行四邊形，
因為　A₁D∥F₁C．
又　EE₁∥A₁D，
得EE₁∥F₁C，
而　EE₁?平面FCC₁，F(xiàn)₁C?平面FCC₁，
故　EE₁∥平面FCC₁．

證法二：因為F為AB的中點，CD=2，AB=4，AB∥CD，
所以CDAF，
因此　四邊形AFCD為平行四邊形，
所以　AD∥FC．
又　CC₁∥DD₁，F(xiàn)C∩CC₁=C，
FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC
所以　平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，
又　EE₁?平面ADD₁A₁，
所以　EE₁∥平面FCC₁．

（ 2）證明：連接AC，連△FBC中，F(xiàn)C=BC=FB，
又　F為AB的中點，
所以　AF=FC=FB，
因此∠ACB=90°，
即　AC⊥BC．
又　AC⊥CC₁，且CC₁∩BC=C，
所以　AC⊥平面BB₁C₁C，
而　AC?平面D₁AC，
故　平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．