Question

如圖，從點(diǎn)P₁（0，0）做x軸的垂線交曲線y=e^x于點(diǎn)Q₁（0，1），曲線在Q₁點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P₂，再從P₂做x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q₂，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P₁，Q₁；P₂，Q₂…；P_n，Q_n，記P_k點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_k，0）（k=1，2，…，n）．
（Ⅰ）試求x₁與x_k-1的關(guān)系（2≤k≤n）
（Ⅱ）求|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)P_k-1（x_k-1，0），由y′=e^x得
點(diǎn)Q_k-1處切線方程為
由y=0得x_k=x_k-1-1（2≤k≤n）．
（Ⅱ）x₁=0，x_k-x_k-1=-1，得x_k=-（k-1），

S_n=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|

分析：（I）設(shè)出p_k-1的坐標(biāo)，求出Q_k-1，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的曲線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程，令y=0得到x_k與x_k+1的關(guān)系．
（II）求出|P_kQ_k|的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出和．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的曲線的斜率、考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出和．