Question

以橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，試問(wèn)：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說(shuō)明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個(gè)？

Answer 1

(1)存在，與；（2）存在，最多有個(gè).

試題分析：（1）這樣的等腰直角三角形存在．直線y=x+1與直線y=-x+1滿足題意；
（2）設(shè)出CA所在的直線方程，代入橢圓的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k²-（a₂-1）k+1]=0，討論方程根的情況，即可得出結(jié)論．
試題解析：（1）這樣的等腰直角三角形存在。因?yàn)橹本�與直線垂直，且關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與直線是一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。
（2）設(shè)兩點(diǎn)分別居于軸的左，右兩側(cè)，設(shè)的斜率為，則，所在的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，或，的橫坐標(biāo)為，，
同理可得，所以由得
，，
當(dāng)時(shí)，（1）的解是無(wú)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，（1）的解是的解也是；當(dāng)時(shí)，（1）的解除外，方程有兩個(gè)不相等的正根，且都不等于，故（1）有 個(gè)正根。
所以符合題意的等腰直角三角形一定存在，最多有個(gè)。