Question

已知函數．
(Ⅰ)求函數的單調區間；
(Ⅱ)設,若在上至少存在一點，使得成立，求的范圍．

Answer 1

(Ⅰ)在，上單調遞減，在上單調遞增；(Ⅱ)的取值范圍為．

試題分析：（Ⅰ）對求導來判斷單調區間；（Ⅱ）在上至少存在一點，使得成立，即不等式在上有解，原不等式整理得：（），轉化為求在的最小值問題．
試題解析：（Ⅰ）解：．，解得：在，上單調遞減，在上單調遞增；
（Ⅱ），在上至少存在一點，使得成立，即：不等式在有解，也即：（）有解，記，則，，令，，，，在單調遞增，，即在上恒成立，因此，在上，在上，即在單調遞減，在單調遞增，，所以，的取值范圍為．
方法二：令，則，
即，
①當時，在上為增函數，在上為減函數，由題意可知，，；
②當時，在上為增函數，在，上為減函數，，由題意可知，；
③當時，在上為增函數，在，上為減函數，，由題意可知，，恒成立，此時不合題意．
綜上所述，的取值范圍為