Question

(2013·重慶卷)設f(x)＝a(x－5)²＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數f(x)的單調區間與極值．

Answer 1

（1）a＝（2）極小值2＋6ln 3. 極大值f(2)＝＋6ln 2，f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數；
當2<x<3時，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數．

(1)因f(x)＝a(x－5)²＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由點(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝ (x－5)²＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
當0<x<2或x>3時，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數；
當2<x<3時，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數．
由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln 3.