Question

已知等差數列{a_n}，公差d＞0，前n項和為S_n，S₃=6，且滿足a₃-a₂，2a₂，a₈成等差數列
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

3a1+ 3×2 2 d=6 5(a1+d)=(a1+2d)+(a1+7d)

，由此能求出a_n=

6

7

n+

2

7

．
（2）由b_n=

1

an•an+1

=

1

( 6 7 n+ 2 7 )( 6 7 n+ 8 7 )

=

7

6

（

1

6 7 n+ 2 7

-

1

6 7 n+ 8 7

），利用裂項求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵等差數列{a_n}，公差d＞0，前n項和為S_n，S₃=6，
且滿足a₃-a₂，2a₂，a₈成等差數列，
∴

3a1+ 3×2 2 d=6 5(a1+d)=(a1+2d)+(a1+7d)

，
解得a1=

8

7

，d=

6

7

，
∴a_n=

8

7

+(n-1)×

6

7

=

6

7

n+

2

7

．
（2）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

( 6 7 n+ 2 7 )( 6 7 n+ 8 7 )

=

7

6

（

1

6 7 n+ 2 7

-

1

6 7 n+ 8 7

），
∴T_n=

7

6

（

1

8 7

-

1

14 7

+

1

14 7

-

1

20 7

+…+

1

6 7 n+ 2 7

-

1

6 7 n+ 8 7

）
=

7

6

（

1

8 7

-

1

6 7 n+ 8 7

）
=

49

48

-

49

6(6n+8)

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．