Question

如圖，在半徑為1，圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點N、M分別在半徑OA、OB上，點Q在

AB

上，求這個矩形面積的最大值．

Answer 1

考點：扇形面積公式

專題：三角函數的求值

分析：如圖所示，取

AB

的中點E，連接OE分別交PQ、MN于F、G點，連接OP．設∠POE=θ.(θ∈(0，

π

6

))．可得PF=sinθ，OF=cosθ．又OG=

NG

tan30°

=

3

sinθ．可得FG=OF-OG=cosθ-

3

sinθ．因此這個矩形面積S=2sinθ(cosθ-

3

sinθ)=2sin(2θ+

π

3

)-

3

，利用三角函數的單調性即可得出．

解答： 解：如圖所示，
取

AB

的中點E，連接OE分別交PQ、MN于F、G點，連接OP．
設∠POE=θ.(θ∈(0，

π

6

))．
則PF=sinθ，OF=cosθ．
又OG=

NG

tan30°

=

3

sinθ．
∴FG=OF-OG=cosθ-

3

sinθ．
∴這個矩形面積S=2sinθ(cosθ-

3

sinθ)
=sin2θ-

3

(1-cos2θ)
=2sin(2θ+

π

3

)-

3

∵θ∈(0，

π

6

)，∴(2θ+

π

3

)∈(

π

3

，

2π

3

)．
∴當2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

時，sin(2θ+

π

3

)取得最大值1．
∴這個矩形面積的最大值是2-

3

．

點評：本題考查了三角函數的單調性、倍角公式、兩角和差的正弦公式、矩形的面積計算公式、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．