Question

【題目】已知橢圓，離心率.左焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（1）求該橢圓的方程；

（2）過橢圓的左焦點的任意一條直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在定點使得軸平分,若存在，求出定點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）在橢圓中，代入，解得，所以，結合,可解出，得到橢圓方程；（2）假設在軸上存在點，使得軸平分，先考慮斜率不存在，然后再研究斜率存在的情況，設出，聯立橢圓方程，得到韋達定理，結合，可解出的坐標.

（1）在橢圓中，代入，解得

所以過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

所以解得：，

所以橢圓方程為：

（2）假設在軸上存在點，使得軸平分,

當斜率不存在時，點為x軸上任意一點，

當斜率存在時，可設，與橢圓交于兩點,

聯立和得

所以，

又因為軸平分

所以，即

整理得，

即，

化簡得，即點為

所以在軸上存在定點使得軸平分