Question

【題目】定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相似”的，如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點，橢圓的長軸長是4，橢圓，短軸長是1，點，分別是橢圓的左焦點與右焦點.

（1）求橢圓，的方程；

（2）過的直線交橢圓于點，，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題

(1)利用題意結合“相似”的定義設橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由a,b,c的關系可得：橢圓的方程為，橢圓的方程是；

(2)由題意可得三角形面積的表達式，結合均值不等式的結論可得的面積的最大值為.

試題解析：

解：（1）設橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由已知，，，

∵橢圓與橢圓的離心率相等，即，

∴，即，

∴，即，∴，

∴橢圓的方程為，橢圓的方程是；

（2）顯然直線的斜率不為0，故可設直線的方程為.

聯立：，得，即，

∴，設，，

則，，∴，

的高即為點到直線：的距離，

∴的面積，

∵，等號成立當且僅當，即時，

∴，即的面積的最大值為.