Question

【題目】雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為雙曲線的一條漸近線.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)、漸近線方程、結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得雙曲線方程.

（2）設(shè)出直線的方程和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用和，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得①，通過聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，寫出韋達(dá)定理并代入①，由此求得直線的斜率，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).

（1）依題意可知：橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故雙曲線的半焦距為.由于雙曲線的漸近線為，故，結(jié)合可解得.故雙曲線方程為.

（2）由題意知直線的斜率存在且不等于零，設(shè)直線的方程為，，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，同理，所以，即①，又以及，消去得.當(dāng)時，直線與雙曲線的漸近線平行，不合題意，所以.由韋達(dá)定理有，代入①得，，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.