Question

【題目】已知數列滿足，，.

（1）若.

①求數列的通項公式；

②證明：對， .

（2）若，且對，有，證明：.

Answer 1

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）①當時，，兩邊取倒數，再根據數列遞推關系，可得出數列是首項為2，公差為1的等差數列，即可求出數列的通項公式；

②由①知，利用裂項公式整理得出，則對，根據裂項相消法即可求出；

（2）當時，，則，由于，則，根據基本不等式得出，化簡整理有，最后再利用基本不等式，即可證明出.

解：（1）①當時，，

∵，∴，依此類推，

∴，∴，

∴數列是首項為2，公差為1的等差數列，

∴，即，

②證明：由①知，故對

，

∴

＝

＝，

（2）證明：當時，，

則，

∵，則，得，

∴

＝

＝，

∵與不能同時成立，所以上式“＝”不成立，

即對，.