Question

【題目】已知拋物線的內接等邊三角形的面積為（其中為坐標原點）．

（1）試求拋物線的方程；

（2）已知點兩點在拋物線上，是以點為直角頂點的直角三角形．

①求證：直線恒過定點；

②過點作直線的垂線交于點，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②，是以為直徑的圓（除去點.

【解析】

（1）設A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2pxA2pxB，化簡可得：點A，B關于x軸對稱．因此AB⊥x軸，且∠AOx＝30°．可得yA＝2p，再利用等邊三角形的面積計算公式即可得出；

（2）①由題意可設直線PQ的方程為：x＝my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．與拋物線方程聯立化為：y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得0利用根與系數的關系可得m，或（m），進而得出結論；

②設N（x，y），根據MN⊥NH，可得0，即可得出．

（1）解依題意，設，，

則由，得，

即，

因為，，所以，

故，，

則，關于軸對稱，

所以軸，且，

所以.

因為，所以，

所以，

故，，

故拋物線的方程為.

（2）①證明 由題意可設直線的方程為，

，，

由，消去，得，

故，，.

因為，所以.

即.

整理得，

，

即，

得，

所以或.

當，即時，

直線的方程為，

過定點，不合題意舍去.

故直線恒過定點.

②解 設，則，即，

得，

即，

即軌跡是以為直徑的圓（除去點）.