Question

已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成等差數列．
（1）若P點的軌跡曲線為C，求曲線C的方程；
（2）從定點A（2，4）出發向曲線C引兩條切線，求兩切線方程和切點連線的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標為（x，y），再由M和N的坐標，表示出

MP

，

MN

，及

NP

，根據

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，利用平面向量的數量積運算法則化簡后，即可得到曲線C的方程；
（2）設切線方程的斜率為k，根據A的坐標表示出切線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，由直線與圓相切，得到d=r列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而確定出切線方程，設M和N為對應切線的切點，根據垂徑定理，由|OA|，|OM|，利用勾股定理求出|AM|的長，以A為圓心，|AM|長為半徑寫出圓A的標準方程，MN即為兩圓的公共弦，利用兩圓的方程相減即可求出公共弦MN所在的直線方程．

解答：解：（1）設動點P（x，y），
則

PM

=-

MP

=(-1-x，-y)，

PN

=-

NP

=(1-x，-y)，

MN

=-

NM

=(2，0)

MP

•

MN

=2(1+x)，

PM

•

PN

=x2+y2-1，

NM

•

NP

=2(1-x)
于是由

MP

•

MN

+

NM

•

NP

=2

PM

•

PN

得：2（x²+y²-1）=2（1+x）+2（1-x），
化簡得：x²+y²=3即為所求的軌跡方程；
（2）設切線方程為y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由

|4-2k|

k2+1

=

3

⇒k=8±

51

，
所以切線方程為：y-4=(8±

51

)(x-2)，
設M、N為對應切線的切點，則0A²=OM²+AM²，所以|AM|=

17

，
所以以A為圓心AM為半徑作圓其方程為（x-2）²+（y-4）²=17，
則MN即為兩圓的公共弦，
所以兩圓方程相減得到公共弦MN方程為：2x+4y-3=0．

點評：此題考查了圓的切線方程，等差數列的性質，平面向量的數量積運算，點到直線的距離公式，軌跡方程，垂徑定理及勾股定理，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，第二問求出圓A的方程，得出MN為圓A和圓C的公共弦，是求公共弦MN所在直線方程的關鍵．