Question

已知兩點M（-1，0）、N（1，0），動點P（x，y）滿足|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）假設P₁、P₂是軌跡C上的兩個不同點，F（1，0），λ∈R，

FP1

=λ

FP2

，求證：

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=1．

Answer 1

分析：（1）由|

MN

|=2，知

MP

=(x+1，y)，

NP

=(x-1，y)．由|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，得2

(x-1)2+y2

-2(x+1)=0，由此能導出點P的軌跡C的方程．
（2）由

FP1

=λ•

FP2

，得F、P₁、P₂三點共線，設P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），直線P₁P₂的方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，所以

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+(x1+x2)+1

=1．

解答：解 （1）|

MN

|=2；則

MP

=(x+1，y)，

NP

=(x-1，y)
由|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，則2

(x-1)2+y2

-2(x+1)=0，
化簡整理得y²=4x
（2）由

FP1

=λ•

FP2

，得F、P₁、P₂三點共線，
設P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），直線P₁P₂的方程為：y=k（x-1）
代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0則x₁•x₂=1，x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+(x1+x2)+1

=1
當P₁P₂垂直x軸時，結論照樣成立．

點評：本題考查點P的軌跡C的方程，求證

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=1；解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．