Question

已知函數f（x）=

x

1-|x|

（x∈（-1，1）），有下列結論：
（1）?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）?m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有兩個不等實數根；
（3）?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）存在無數多個實數k，使得函數g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三個零點
則其中正確結論的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數的值

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：（1）根據函數奇偶性的定義判斷函數是奇函數即可．
（2）判斷函數|f（x）|的奇偶性和最值即可判斷．
（3）根據分式函數的性質判斷函數的單調性．
（4）根據函數圖象以及函數奇偶性的性質進行判斷．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

1-|x|

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=

-x

1-|-x|

=-

x

1-|x|

=-f（x），x∈（-1，1），
即函數f（x）為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴（1）正確
（2）∵f（x）=

x

1-|x|

，x∈（-1，1）為奇函數，
∴|f（x）|為偶函數，
當x=0時，|f（0）|=0，
∴當m=0時，方程|f（x）|=m只有一個實根，當m＞0時，方程有兩個不等實根，∴（2）錯誤．
（3）當x∈[0，1）時，f（x）=

x

1-|x|

=

x

1-x

≥0，為增函數．
當x∈（-1，0]時，f（x）=

x

1-|x|

=

x

1+x

≤0，為增函數．
綜上函數f（x）在（-1，1）上為單調函數，且單調遞增，
∴?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）成立，即（3）正確．
（4）由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函數的一個零點，
又∵函數f（x）為奇函數，且在（-1，1）上單調遞減，
∴可以存在無數個實數k，使得函數g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3個零點，如圖：
∴（4）正確．
故（1），（3），（4）正確．
故答案為：（1），（3），（4）

點評：本題主要考查分式函數的性質，利用函數奇偶性，單調性以及數形結合是解決本題的關鍵，綜合性強，難度較大，本題的質量較高．