Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，左、右焦點分別是F₁，F₂，過點F₁的直線l交C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為4

2

．則橢圓C的方程為

 

．

Answer 1

分析：利用橢圓的離心率的概念可知

c

a

=

2

2

；依題意，由橢圓的定義知△ABF₂的周長l=4a=4

2

，于是可求得b，繼而可得橢圓C的方程．

解答：解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

；
依題意，△ABF₂的周長l=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|）+|BF₂|=4a=4

2

，
∴a=

2

；
∴c=1，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1．
故答案為：

x2

2

+y²=1．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，著重考查橢圓的定義與離心率的概念，屬于中檔題．