Question

如圖：已知P是正方形ABCD所在平面外一點，點P在平面ABCD內的射影O是正方形的中心，PO=OD=a，E是PD的中點
（1）求證：PD⊥平面AEC
（2）求直線BP到平面AEC的距離
（3）求直線BC與平面AEC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由PO⊥面ABCD，O為正方形ABCD的中心，可得PA=PC=CD=DA，結合E是PD的中點，及等腰三角形三線合一，可得PD⊥CE，PD⊥AE，進而由線面垂直的判定定理得到PD⊥平面AEC
（2）由三角形中位線定理可得OE∥PB，由線面平行的判定定理可和PB∥面AEC，即直線PB與平面AEC的距離為P點到面AEC的距離，結合（1）中結論，可得PE長即為所求
（3）AD∥BC PD⊥面AEC，故∠EAD為直線BC與面AEC所成的角，結合（1）中結論可求出大小．

解答：證明：（1）∵PO⊥面ABCD，O為正方形ABCD的中心
∴PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA
∵E為PD的中點
∴PD⊥CE，PD⊥AE
又∵AE∩CE=E
∴PD⊥面AEC
解：（2）∵O、E是中點
∴OE∥PB
∴PB∥面AEC
直線PB與平面AEC的距離為P點到面AEC的距離
∵PD⊥面AEC
∴PE為P點到面AEC的距離為

2

2

a
（3）AD∥BC  PD⊥面AEC
∴∠EAD為直線BC與面AEC所成的角為30°

點評：本題考查的知識點是點，線，面間的距離計算，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，是空間線面關系及夾角，距離是綜合應用，難度中檔．