Question

已知x∈R，[x]表示不超過x的最大整數，若函數f(x)=

[x]

2x

-a(x≠0)有且僅有3個零點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：由f（x）=0得

[x]

x

=2a，令g（x）=

[x]

x

，作出g（x）的圖象，利用數形結合即可得到a的取值范圍．

解答： 解：由f(x)=

[x]

2x

-a(x≠0)得

[x]

x

=2a，
①若x＞0，設g（x）=

[x]

x

，
則當0＜x＜1，[x]=0，此時g（x）=0，
當1≤x＜2，[x]=1，此時g（x）=

1

x

，此時

1

2

＜g（x）≤1，
當2≤x＜3，[x]=2，此時g（x）=

2

x

，此時

2

3

＜g（x）≤1，
當3≤x＜4，[x]=3，此時g（x）=

3

x

，此時

3

4

＜g（x）≤1，
當4≤x＜5，[x]=4，此時g（x）=

x

4

，此時

4

5

＜g（x）≤1，
作出函數g（x）的圖象，
要使f(x)=

[x]

2x

-a(x≠0)有且僅有三個零點，
即函數g（x）=2a有且僅有三個零點，
則由圖象可知

3

8

＜a≤

2

5

，
②若x＜0，設g（x）=

[x]

x

，
則當-1≤x＜0，[x]=-1，此時g（x）=-

1

x

，此時g（x）≥1，
當-2≤x＜-1，[x]=-2，此時g（x）=-

2

x

，此時1≤g（x）＜2，
當-3≤x＜-2，[x]=-3，此時g（x）=-

3

x

，此時1≤g（x）＜

3

2

，
當-4≤x＜-3，[x]=-4，此時g（x）=-

4

x

，此時1≤g（x）＜

4

3

，
當-5≤x＜-4，[x]=-5，此時g（x）=-

5

x

，此時1≤g（x）＜

5

4

，
作出函數g（x）的圖象，
要使f(x)=

[x]

2x

-a(x≠0)有且僅有三個零點，
即函數g（x）=2a有且僅有三個零點，
則由圖象可知

2

3

≤a＜

3

4

，
綜上：

3

8

＜a≤

2

5

或

2

3

≤a＜

3

4

，
故答案為：(

3

8

，

2

5

]∪[

2

3

，

3

4

)．

點評：本題主要考查函數零點的應用，根據函數和方程之間的關系構造函數g（x），利用數形結合是解決本題的關鍵．難度較大．