Question

已知AB是表面積為4π的球的直徑，C、D是該球球面上的兩點，且BC=CD=DB=1，則三棱錐A-BCD的體積為________．

Answer 1

分析：設AB中點即球心為O．連接OC、OD，取OD中點F，連接BF、CF．由正余弦定理，算出S_△BCF=，得V_C-BOD=S_△BCF×OD=，從而得到三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=2V_C-BOD=．
解答：∵球的表面積為4π
∴4πR²=4π，得球的半徑R=1
設AB中點即球心為O．連接OC、OD，取OD中點F，連接BF、CF
∵OB=OD=BD=1，F為OD中點
∴△BDF是正三角形，BF⊥OD，且BF=
同理可得CF⊥OD，CF=
∵BF、CF是平面BCF內的相交直線
∴OD⊥平面BCF
△BCF中，cos∠BFC==-，所以sin∠BFC==
∴S_△BCF=BF•CFsin∠BFC=×××（）=
由此可得V_C-BOD=V_D-BCF+V_O-BCF=S_△BCF×OD=
∵△ABD中，OD是AB邊上的中線
∴S_△ABD=2S_△0BD，得V_C-ABD=2V_C-BOD
∵V_C-BOD=，
∴三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=V_C-ABD=2V_C-BOD=2×=
故答案為：
點評：本題在球中給出內接四面體，求四面體的體積，著重考查了線面垂直的判定、球內接多面體和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．