Question

已知AB是表面積為4π的球的直徑，C、D是該球球面上的兩點，且BC=CD=DB=1，則三棱錐A-BCD的體積為

2

6

．

Answer 1

分析：設AB中點即球心為O．連接OC、OD，取OD中點F，連接BF、CF．由正余弦定理，算出S_△BCF=

2

4

，得V_C-BOD=

1

3

S_△BCF×OD=

2

12

，從而得到三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=2V_C-BOD=

2

6

．

解答：解：∵球的表面積為4π
∴4πR²=4π，得球的半徑R=1
設AB中點即球心為O．連接OC、OD，取OD中點F，連接BF、CF
∵OB=OD=BD=1，F為OD中點
∴△BDF是正三角形，BF⊥OD，且BF=

3

2

同理可得CF⊥OD，CF=

3

2

∵BF、CF是平面BCF內的相交直線
∴OD⊥平面BCF
△BCF中，cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF•CF

=-

1

3

，所以sin∠BFC=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

∴S_△BCF=

1

2

BF•CFsin∠BFC=

1

2

×

3

2

×

3

2

×（

2 2

3

）=

2

4

由此可得V_C-BOD=V_D-BCF+V_O-BCF=

1

3

S_△BCF×OD=

2

12

∵△ABD中，OD是AB邊上的中線
∴S_△ABD=2S_△0BD，得V_C-ABD=2V_C-BOD
∵V_C-BOD=

2

12

，
∴三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=V_C-ABD=2V_C-BOD=2×

2

12

=

2

6

故答案為：

2

6

點評：本題在球中給出內接四面體，求四面體的體積，著重考查了線面垂直的判定、球內接多面體和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．