Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（I）若為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線的參數方程為（為參數，，且直線與曲線相交于，兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .

【解析】

（I）根據題意設出P,M的極坐標 , 由此寫出 , ，又 化簡整理可得的極坐標方程，進而可得解；（Ⅱ）把直線的參數方程代入圓的方程，得到關于t的一元二次方程，利用韋達定理表示 ， ，利用代入整理求解即可。

（I）設的極坐標為，，的極坐標為 .由題設知，

.

由得的極坐標方程為 ，

因此的直角坐標方程為 .

（Ⅱ）方法一：將代入，

整理得，所以，，

設，則的面積

，

當時，的面積取到最大值，且最大值為.

方法二：由直線的參數方程為（為參數，），

化為普通方程，其中，.

由，消去，整理得，

設，，

則，，

設，則的面積

，

當時，的面積取到最大值，且最大值為.