Question

【題目】阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據(jù)題意計算得到，得到橢圓方程.

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，解得答案.

(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(2)由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，

由方程組得，

設(shè)，，

所以，，

所以，

所以，

令（），則，，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，即時，面積取得最大值為.