Question

如圖，是棱長為的正方體，、分別是棱、上的動點，且．

（1）求證：；
（2）當、、、共面時，求：面與面所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）建立空間坐標系，利用向量垂直證明線線垂直；（2）

試題分析：（1）以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系 …1分，則、，設，則，        2分，
從而、                  3分，
則，所以      5分．
（2）易得，、 ，設平面的一個法向量為， …6分
依題意          8分，
所以              9分，
同理平面的一個法向量為    12分，
由圖知，面與面所成二面角的余弦值    13分．
點評：求解和證明立體幾何問題一方面可以直接利用幾何方法，通過證明或找到線面之間的關系，依據判定定理或性質進行證明求解.利用空間向量法證明垂直，即證明向量的數量積等于0；若求二面角則通過兩個半平面的法向量的夾角進行求解判斷。