Question

已知函數f（x）=x²-2|x|．
（1）判斷并證明函數的奇偶性；
（2）依圖象寫出函數的單調區間，并對函數f（x）在（-1，0）上的單調性加以證明．

Answer 1

（Ⅰ）函數是偶函數，定義域是R，
∵f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x），
∴函數f（x）是偶函數．
（Ⅱ）畫出函數f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

圖象，
數形結合可得函數，如圖：
單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞），
遞減區間為（-∞，-1），（0，1）．
證明：當x∈（-1，0）時，∵f（x）=x²+2x，
設-1＜x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(

x

21

-

x

22

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以，函數f（x）在（-1，0）上是單調遞增函數．