Question

已知函數．

（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明．

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點的個數．

 

Answer 1

(1)單調遞減函數；（2）；（3）當或時，有1個零點．當或或時，有2個零點；當或時，有3個零點．

【解析】

試題分析：（1）先根據條件化簡函數式，根據常見函數的單調性及單調性運算法則，作出單調性判定，再用定義證明；（2）將題中所給不等式具體化，轉化為不等式恒成立問題，通過參變分離化為，求出的最大值，則m的范圍就是m大于的最大值；（3）將函數零點個數轉化為方程解的個數，再轉化為函數與交點個數，運用數形結合思想求解.

試題解析：（1）當，且時，是單調遞減的． 1分

證明：設，則

3分

又，所以，，

所以

所以，即，

故當時，在上單調遞減的． 4分

（2）由得，

變形為，即

而，

當即時，

所以． 9分

（3）由可得，變為

令

作的圖像及直線，由圖像可得：

當或時，有1個零點．

當或或時，有2個零點；

當或時，有3個零點． 14分

考點：1.函數奇偶性的判定；2.不等式恒成立問題；3.函數零點；4.數形結合思想.