Question

已知f（x）是R上的單調函數，且對任意的實數a∈R，有f（-a）+f（a）=0恒成立，若f（-3）=2
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調性，并說明理由；
（Ⅱ）解關于x的不等式：f(

m-x

x

)+f(m)＜0，其中m∈R且m＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函數，得f（0）=0；再與條件相結合即可判斷f（x）在R上的單調性；
（Ⅱ）先利用奇函數的定義把：f(

m-x

x

)+f(m)＜0轉化為得f(

m-x

x

)＜-f(m)=f(-m)；再于（Ⅰ）的結論相結合得到

m-x

x

＞-m，最后分類討論求出x的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）為R上的減函數．
理由如下：∵f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0，
又因f（x）是R上的單調函數，
由f（-3）=2，f（0）＜f（-3），所以f（x）為R上的減函數．
（Ⅱ）由f(

m-x

x

)+f(m)＜0，得f(

m-x

x

)＜-f(m)=f(-m)，
結合（I）得

m-x

x

＞-m，整理得

(1-m)x-m

x

＜0
當m＞1時，{x | x＞0， 或x＜

m

1-m

}；
當m=1時，{x|x＞0}；
當0＜m＜1時，{x | 0＜x＜

m

1-m

}；

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性，是對這兩個知識點的綜合考查，屬于中檔題目．