Question

已知數列{a_n}的通項為a_n=（2n-1）•2ⁿ，求其前n項和S_n時，我們用錯位相減法，即
由S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ得2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減得-S_n=2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
求出S_n=2-（2-2n）•2ⁿ⁺¹．類比推廣以上方法，若數列{b_n}的通項為b_n=n²•2ⁿ，則其前n項和T_n=

（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6

．

Answer 1

分析：類比題設中“錯位相減法”，先得出T_n=1×2+4×2²+9×2³+…n²•2ⁿ及兩邊同乘2后得2T_n=1×2²+4×2³+9×2⁴+…n²•2ⁿ⁺¹再兩式相減，正好求得T_n=-S_n+n²•2ⁿ⁺¹進而得到答案．

解答：解：T_n=1×2+4×2²+9×2³+…n²•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+4×2³+9×2⁴+…n²•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=1×2+3×2²+5×2³+…（2n-1）2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹
即T_n=-S_n+n²•2ⁿ⁺¹=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6
故答案為：（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．

點評：本題主要考查類比推理、數列的求和問題，錯位相減法是解決數列求和問題常用的方法，應熟練掌握．