Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l：xy2=0，拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）.

（1）若直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）已知拋物線(xiàn)C上存在關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P和Q.

①求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；

②求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析;②.

【解析】

（1）先確定拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，再將點(diǎn)代入直線(xiàn)方程；（2）①利用拋物線(xiàn)點(diǎn)之間關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求證;②利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系：，解出p的取值范圍.

（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為

由點(diǎn)在直線(xiàn)上，得，即

所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為

（2）設(shè)，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)

因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段PQ，

于是直線(xiàn)PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為

①由消去得

因?yàn)?/span>P 和Q是拋物線(xiàn)C上的相異兩點(diǎn)，所以

從而，化簡(jiǎn)得.

方程（*）的兩根為，從而

因?yàn)?/span>在直線(xiàn)上，所以

因此，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

②因?yàn)?/span>在直線(xiàn)上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范圍為