如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:
(1)
·
.
(2)EG的長.
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.
(1) 
(2) 
(3) 45°
【解析】設
=a,
=b,
=c,
則|a|=|b|=|c|=1,
<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,
=
=
c-a,
=-a,
=b-c.
(1)·=(c-a)·(-a)
=-a·c+
=-+=.
(2)
=
+
+
=
+(-)+(-)
=-+
+
=-a+b+c
∴
=(-a+b+c)2
=(
-2a·b-2a·c+2b·c)=,
∴||=,即EG的長為.
(3)由(2)知,·=(-a+b+c)·b
=-a·b+
+c·b=,
∴cos<,>=
=
=.
故異面直線EG與AC所成的角為45°.
【方法技巧】用向量法解題的常見類型及常用方法
1.常見類型
利用向量可解決空間中的平行、垂直、長度、夾角等問題.
2.常用的解題方法
(1)基向量法
先選擇一組基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根據向量的運算解題.
(2)坐標法
根據條件建立適當的空間直角坐標系,并求出相關點的坐標,根據向量的坐標運算解題即可.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業四十八第七章第七節練習卷（解析版） 題型：填空題
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE與BD的位置關系是 .
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業四十九第七章第八節練習卷（解析版） 題型：解答題
如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都是2,底面正方形兩條對角線相交于O點,M是側棱PC的中點.
(1)求此正四棱錐的體積.
(2)求直線BM與側面PAB所成角θ的正弦值.
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業四十三第七章第二節練習卷（解析版） 題型：選擇題
某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
(A)
(B)2 (C)
(D)3
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業四十七第七章第六節練習卷（解析版） 題型：填空題
在空間直角坐標系中,以點A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)為頂點的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實數x的值為 .
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業四十七第七章第六節練習卷（解析版） 題型：選擇題
已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若
=
+x
+y
,則x,y的值分別為( )
(A)x=1,y=1 (B)x=1,y=
(C)x=,y= (D)x=,y=1
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業四十一第六章第七節練習卷（解析版） 題型：選擇題
用數學歸納法證明不等式1+
+
+…+
>
(n∈N*)成立,其初始值至少應取( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業十四第二章第十一節練習卷（解析版） 題型：選擇題
函數y=(3-x2)ex的單調遞增區間是( )
(A)(-∞,0)
(B)(0,+∞)
(C)(-∞,-3)和(1,+∞)
(D)(-3,1)
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