Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點P(1，

2

2

)，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線l：mx+ny+

1

3

n=0(m，n∈R)交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T．若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及等腰直角三角形的性質可得a=

2

b，在把點P的坐標代人橢圓方程即可得出b²，進而得到橢圓的方程；
（2）先利用特殊位置的兩個圓找出點T（0，1），在證明點T符合條件即可．對直線l的斜率分類討論，當斜率存在時，把直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及向量垂直與數量積的關系即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
∴b=c，∴a=

2

b，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
又∵橢圓經過點P(1，

2

2

)，代入得

1

2b2

+

( 2 2 )2

b2

=1，解得b=1，
∴a=

2

，
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由動直線mx+n(y+

1

3

)=0，得到動直線l過定點（0，-

1

3

）．                             
當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2．
當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即兩圓相切于點（0，1），
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）．
事實上，點T（0，1）就是所求的點．                                      
證明如下：
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設直線L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
記點A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因為

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x 2，y2-1)，
所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）
∴在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為把直線的方程與橢圓的方程聯立得到一元二次方程得根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系．注意分類討論的思想方法的運用、特殊位置探究再證明．本題需要較強的推理能力和計算能力．