Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分12分）已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且．

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線(xiàn)相切的圓，必與直線(xiàn)相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．

【解析】解法一：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)的定義得．

因?yàn)?/span>，即，解得，所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn) 上，

所以，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．

由，可得直線(xiàn)的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，

所以，，

所以，從而，這表明點(diǎn)到直線(xiàn)，的距離相等，

故以為圓心且與直線(xiàn)相切的圓必與直線(xiàn)相切．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線(xiàn)相切的圓的半徑為．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn) 上，

所以，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．

由，可得直線(xiàn)的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，故直線(xiàn)的方程為，

從而．

又直線(xiàn)的方程為，

所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．

這表明以點(diǎn)為圓心且與直線(xiàn)相切的圓必與直線(xiàn)相切．