Question

【題目】為建設美麗鄉村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態休閑園，園區內有一景觀湖EFG（圖中陰影部分）．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數模型．園區服務中心P在x軸正半軸上，PO＝百米．

（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；

（2）若在線段DE上設置一園區出口Q，試確定Q的位置，使通道直線段PQ最短．

Answer 1

【答案】(1) 的最小值為百米．

(2) 當點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．

【解析】

（1）設，，求出 ，再利用基本不等式求OM的最短長度.(2) 當直線與邊界曲線相切時，最短．設切點為，求出切點為，切線方程為，令，得，即點在線段上且距離軸百米．

（1）設，，

則 ，

當且僅當，即時取等號．

所以的最小值為百米．

（2）當直線與邊界曲線相切時，最短．

設切點為，由得，

所以切線的方程為．

因為在軸正半軸上，且PO=，所以點坐標為．

因為切線過點，所以，

整理得，解得，或．

因為，所以，此時切點為，切線方程為．

令，得，即點在線段上且距離軸百米．

答：當點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．