Question

【題目】已知a1=3，an=2an﹣1+（t+1）2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*）
（1）t=0，m=0時，求證： 是等差數列；
（2）t=﹣1，m= 是等比數列；
（3）t=0，m=1時，求數列{an}的通項公式和前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：t=0，m=0時，an=2an﹣1+2n，

兩邊同除以2n，可得 = +1，

即有 是首項為 ，公差為1的等差數列

（2）解：證明：t=﹣1，m= 時，an=2an﹣1+3，

兩邊同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3），

即有數列{an+3}為首項為6，公比為2的等比數列

（3）解：t=0，m=1時，an=2an﹣1+2n+3，

兩邊同除以2n，可得 = +1+ ，

即為 = =1+ ，

即有得 = +（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）

= +1+ +1+ +…+1+ ，

=n﹣1+ =n+2﹣ ，

則an=（n+2）2n﹣3，

前n項和Sn=32+422+523+…+（n+2）2n﹣3n，

可令Rn=32+422+523+…+（n+2）2n，

2Rn=322+423+524+…+（n+2）2n+1，

兩式相減可得，﹣Rn=32+22+23+…+2n﹣（n+2）2n+1

=4+ ﹣（n+2）2n+1

=2﹣（n+1）2n+1，

則Rn═（n+1）2n+1﹣2，

Sn=（n+1）2n+1﹣2﹣3n

【解析】（1）兩邊同除以2n ， 由等差數列的定義，即可得證；（2）兩邊同加上3，由等比數列的定義，即可得證；（3）兩邊同除以2n ， 可得 = +1+ ，即為 = =1+ ，再由數列恒等式，可得數列{an}的通項公式；再由錯位相減法和等比數列的求和公式，計算即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．