Question

如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側面底面，．

（1）求側棱與平面所成角的正弦值的大小；
（2）已知點滿足，在直線上是否存在點，使？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）存在點，使.

試題分析：（1）首先根據幾何體的性質建立空間直角坐標系，利用“側棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角”，借助向量夾角公式進行計算；（2）假設存在點P滿足，設出其坐標，然后根據建立等量關系，確定P點坐標即可.
試題解析：（1)∵側面底面，作于點，∴平面．
又，且各棱長都相等，∴，，．                                              2分

故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，，，，
∴，，
．  4分
設平面的法向量為，
則   
解得．由．
而側棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，
∴側棱與平面所成角的正弦值的大小為                 6分
（2）∵，而 
∴
又∵，∴點的坐標為．
假設存在點符合題意，則點的坐標可設為，∴．
∵，為平面的法向量，
∴由，得．             10分
又平面，故存在點，
使，其坐標為，
即恰好為點．                  12分