Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成30^o的二面角,如圖二，在二面角中.

(1) 求CD與面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 對于AD上任意點H，CH是否與面ABD垂直。

Answer 1

（1）
(2) CH不可能同時垂直BD和BA，即CH不與面ABD垂直

試題分析：解: 依題意，ABD=90^o，建立如圖的坐標系使得△ABC在yoz平面上，

△ABD與△ABC成30^o的二面角, DBY=30^o，又AB=BD=2，  A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，，1)，D(1，，0)，
(1)x軸與面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一個法向量。
設(shè)CD與面ABC成的角為，而= (1，0，-1)，
sin==
[0，]，=；      6分
(2) 設(shè)=t= t(1，，-2)= (t，t，-2 t)，
=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，
若，則 (t，t-，-2 t+1)·(0，0，2)="0" 得t=，      10分
此時=(，-，0)，而=(1，，0)，·=-=-10, 和不垂直，即CH不可能同時垂直BD和BA，即CH不與面ABD垂直。       12分
點評：主要是考查了空間中線面位置關(guān)系的運用，屬于基礎(chǔ)題。