Question

【題目】設函數，曲線在點處的切線斜率為.

（1）證明：有且只有一個零點.

（2）當時，恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）2.

【解析】

（1）根據導數的幾何意義，即可由切線斜率求得參數，再利用導數判斷的單調性，結合零點存在性定理，即可容易求得結果；

（2）先根據時，滿足題意，求得的初步范圍；再證時，滿足題意；構造函數與，即可由函數單調性求得結果.

（1）證明：的定義域為，

，

則，解得.

，則在上單調遞減，

，，

有且僅有一個零點.

（2）解：當時，，由此可得.

當時，下面證明對恒成立.

證明：.

令，則，在上單調遞增，在上單調遞減，

則.

令，，在上單調遞減，在上單調遞增，

則.

從而，又和不在同一處取到最值，則.

故當時，恒成立，從而整數的最小值為2.