Question

設函數f（x）=lnx-2ax．
（1）若函數y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線為直線l，且直線l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，再根據直線l與圓
（x+1）²+y²=1相切得到d=r，建立等式關系，解之即可求出a的值；
（2）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間．

解答：解：（1）依題意有，f′（x）=

1

x

-2a．
因此過（1，f（1））點的直線的斜率為1-2a，又f（1）=-2a，
所以，過（1，f（1））點的直線方程為y+2a=（1-2a）（x-1）．
即（2a-1）x+y+1=0
又已知圓的圓心為（-1，0），半徑為1，
依題意，

|1-2a+1|

(2a-1)2+1

=1，
解得a=

1

2

．
（2）依題知f（x）=lnx-2ax的定義域為（0，+∞），
又知f′（x）=

1

x

-2a
因為a＞0，x＞0，令

1

x

-2a＞0，則1-2ax＞0
所以在x∈（0，

1

2a

）時，f（x）=lnx-2ax是增函數；
在x∈（

1

2a

，+∞）時，f（x）=lnx-2ax是減函數．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數單調性和直線圓的位置關系的判定，同時考查了轉化與劃歸的思想，計算的能力，屬于基礎題．